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2012年06月07日

[学者笔谈]向隆万:数学赏析

点击:[] 向隆万

[编者按]继2011年上半年推出“身边的感动”系列报道受到广泛好评后,从2011年10月起,我们推出了新栏目“学者笔谈”。本栏目将陆续推出一批我校有影响的学者,重点展示他们在人才培养、科学研究、服务社会和文化传承与创新等方面的观点和见解、思路和做法及理论和实践,旨在弘扬科学精神,激荡人文情怀,回归学术本位,浓郁学术气象,全面提升交大学术的影响力和传播力。

■孟子说:“得天下英才而教育之”乃“君子之乐”,信哉!

■经过数学训练的人,将来未必用到许多数学公式,但是思维的逻辑性一定会终身受益。

■MIT数学教学有三个特点值得借鉴:重视基础;重视跨学科合作;鼓励本科生及早参与科学研究活动。

■长期以来,人们积累了许多教学方法。当提倡扬长避短、不拘一格的精神,关键在于调动学生的学习积极性。

■教学既是学术,又是艺术;既要积累,又要创新。探索要有勇气,探索充满快乐,探索永无止境。

1963年,我到西安交通大学任教,1984年调入上海交通大学,从教已近半个世纪。

记得作为青年教师第一次监考“高等数学”,心中很忐忑。当时全年级统考,作为教坛新兵,成绩如何,比学生还要紧张,曾吟得打油诗一首:“向为他人考,今日考他人;考人同考己,考己胜考人”。

在四十多年中,开设过数学课程十余门,编写过若干教材,指导过若干研究生,但是最自豪的还是教过本科生的基础课。孔子有三千弟子,七十二贤人;我的学生中有多少贤人不敢说,但所教学生的总数已不下三千。孟子说过,“得天下英才而教育之”乃“君子之乐”,信哉!

数学的“数”和“形”

数学教学对人才培养的重要性不言而喻。从幼儿园到大学,数学都是必修课。对理工科学生来说,高等数学是基础和工具。但一直以来,大学数学过于强调知识传授,对数学的思想基础和精神价值却大大忽视了。

数学以“数”和“形”为对象,经过缜密的逻辑推理,证明出定理和推论。经过数学训练的人,将来未必用到许多数学公式,但是思维的逻辑性一定会终身受益。由欧几里德几何开创的公理化体系,不仅支撑着数学的其他分支,在物理学,甚至伦理学等领域也有重要应用。

英国学者李约瑟提出著名的“李约瑟难题”:“尽管中国古代对人类科技发展做出了很多重要贡献,但为什么科学和工业革命没有在近代的中国发生?”许多人从生产方式、社会制度、文化传统等不同角度予以分析,都有道理。就科学发展本身而言,爱因斯坦曾明确表示,产生近代科学的两个条件是形式逻辑推理和实验方法。中国的古代科学重视案例,重视应用,恰恰缺少上述两种方法。

数学是抽象的,着重研究定量的规律。“1+2=3”可以指“一个苹果加两个苹果等于三个苹果”,也可以描述为“一辆汽车加两辆汽车等于三辆汽车”。但正是这种抽象性,使得数学有广泛的应用性。学生在遇到抽象概念时,往往抱怨“有什么用?”我觉得教师讲授应当注意两点:一是把抽象概念的来龙去脉讲解清楚。如果为了赶进度,从公式到公式,从定理到定理,学生一定会感到晕头转向。第二,要启发学生举一反三的意识与能力。其实,不仅学生的知识储备不足,老师的知识也有限,数学将来如何应用,必须靠学生自己去发现。

数学来源于现实世界。“结绳记事”产生“数”,丈量土地得出“形”。有些逻辑推理的结果一时看不出有何实际意义,可是若干年之后,却在某些实际问题的解决中大放异彩。这样的例子不胜枚举:“黄金分割”和“斐波那契数列”成为优选法的有力工具;“数论”在近代密码学中得到应用……数学有自身发展的规律,如果每一个结论都要求和实际问题对应,恐怕是从事基础科学研究之大忌。

另一方面,数学的发展又离不开实际问题的推动。这在数学发展史中也有大量例证。微积分的来源可上溯两千年,为什么在十七世纪才诞生?这与文艺复兴后欧洲生产的进步和思想的变革有密切关系。运筹学、信息论、金融数学、生物数学等学科更是直接由现实需要所催生。我在哥伦比亚大学访问进修时的导师朱家鲲教授,是交大1948届校友。他的学生默顿,在本科阶段主修应用数学。后到加州理工学院攻读硕士,开始接触数理经济学,再到MIT数理经济学专业深造。他把数学分析技能与经济学结合起来,获得1997年诺贝尔经济学奖。我统计了从2000-2011年30位诺贝尔经济学奖得主的学历,其中9位曾主修数学。这些学者有较高的数学素养,然后深入到经济领域,根据实际问题,建立数学模型,提出数学理论,发展数学方法。

“中药铺”式的数学教学

半个世纪来,中国大学数学教学有很大的变化。以工科而言,五十年前,本科学生只学“高等数学”,即微积分加简单微分方程,今天不仅学“高等数学”,还要学“线性代数”和“概率统计”,还可能学“数学建模”和“数学实验”;五十年前,研究生数量很少,今天数量大大增加,教学的深度和广度也大大拓展;五十年前,教学就是粉笔加黑板、钢笔加白纸,今天计算机的普及与发展,不仅提供计算工具,各种软件也成为有力的辅助教学工具。这些都是可喜的进步。

什么是一流的数学教学?怎样提高数学教学的水平?我认为既要传承优良传统,又要借鉴国外一流大学的经验。1982年,经朱家鲲教授推荐,我曾到MIT数学系随斯特兰教授合作研究半年,以后多次进行短期访问。1998年在交大教学大讨论之前,又专门拜访MIT负责本科教学的院长。我觉得MIT的许多理念和做法值得借鉴。

一是高度重视基础。有人认为,中国学生过于重视基础,影响了创新能力,我不能苟同。MIT以“创新、创造、唯一”为宗旨,却极其重视基础。有一次,我听到一个学生向老师抱怨,负担太重,难以完成。老师回答很简单:“This is MIT!”。他们重视基础最重要的措施是名教授上课。MIT的新教师都有博士学位,进校后先加入教授的科研团队,可以参与指导博士生、硕士生,却没有资格上基础课。在科研“定向”的同时,先开设研究生课程,然后才允许涉及本科教学。所以一、二年级的数学基础课多由资深教授开设。还有一种说法:“国外都是小班上课”。以我在国外大学所见,此话不太确切。小班上课,便于师生交流,确实采用较多。但是哥伦比亚大学和MIT不乏百人左右的大课。MIT有位数学教授马托克,讲课非常精彩。他的微积分课安排在可容400人的大教室,学生都是慕名而来。30年前我去旁听,几乎找不到座位。他用特制的粗粉笔,文不加点,一气呵成。等到下课,刚好用完九块黑板,的确是艺术。

二是重视跨学科合作。MIT在全美率先实行全校所有学生必修“生物学导论”课程;理工科学生必须修相当学分的HASS(人文艺术及社会科学)课程。斯特兰教授带我参加一个“每月俱乐部”,由不同学科教授组成。每月举行一次聚餐会,一位教授作主题演讲,大家边吃边聊,“鸡蛋里挑骨头”。斯特兰用有限元和优化方法,计算出腿骨的最佳断面,就是他和医学家共同完成的研究项目。林家翘教授是应用数学大师。一次他参加天文学学术会议,发现可将离散的天体看作连续介质,然后用他擅长的流体力学和数学功底加以研究。计算出来的星云变化竟然和天文观测惊人一致,为此荣获MIT的“基利安奖”,这是该校比诺贝尔奖更珍视的荣誉。

三是鼓励本科生及早参与科学研究活动。我曾请MIT负责本科教育的院长用一句话概括他们本科教育的特点,他的回答是“尽早参加科研活动”。回校后,我向校领导汇报,结合交大校情,我们推出了PRP和PEP活动,并在全校开设“生物学导论”。十余年来,取得良好的效果。几年前,我曾指导经管学院许惟均同学参加PRP项目,他后来获得哈佛大学统计学奖学金攻读硕士的机会,现在牛津大学攻读博士。他说,正是经过PRP,数学上开了一点窍,有融会贯通的感觉。

一流数学教育离不开好的教学方法。MIT和哥伦比亚大学的数学基础课以传统课堂讲授为主,辅以讨论班、大作业等多种形式。现在流传的视频课件,只起辅助作用。他们认为“face to face”的教学方式是不可替代的。做老师的都有体会,学生的眼神和肢体动作是最重要的反馈。看电视转播和到球场,感受完全不一样。长期以来,人们积累了许多教学方法,如“一对一谈话”、“讲授式”、“提问式”、“讨论式”、“自学报告式”等,每种方法都有长短,应当提倡扬长避短、不拘一格的精神,关键在于调动学生的学习积极性。我在哥大进修时,有一次朱教授让我代上一周“样条函数”。当时我很紧张,倒不是教学内容生疏,而是英语水平不行。于是我采用“开中药铺”方法,1、2、3、4,A、B、C、D,总算坚持下来。想不到的是,学生反馈奇佳,有的甚至说“从未听过这样条理清晰的课”。其实我很明白,牛排炸鸡吃多了,偶尔吃萝卜青菜,感觉自然好;再鲜美的菜肴,天天不变,总会腻味。教学难道不是一个道理吗?

MIT基础数学课的教材建设也很有特色。一方面,经典教材不轻易放弃,采用逐渐更新的方式。另一方面,MIT鼓励教授撰写有新意的教材。

数学赏析

我已步入古稀之年,回顾近50年的经历,深感现在是教学改革和创新的最好时期。梅兰芳大师对京剧改革曾提出“移步不换形”的主张,我觉得对数学教学的改革也应如是。改革开放以来,我本人和交大同事也进行了很多的探索。

1990年,我们邀请美国大学生数学建模竞赛的创始人弗萨罗教授到交大介绍宗旨和实施方法,当年就和复旦、同济等校发起数学建模邀请赛,一共22个队参加,结果交大一个队荣获唯一一等奖。两年以后,中国工业与应用数学学会和教育部推广上海经验,将数模竞赛推向全国。不久前,我应邀参加纪念中国大学生数学建模竞赛29周年盛典,荻知2011年全球有1251所院校、19490队参赛。讨论会上我介绍了当年首创的过程,星星之火,已经燎原,抚今思昔,不胜感慨。

上世纪90年代初,我曾用斯特兰的《微积分》做教材,开了英语讲授数学课之先河;上世纪末,我和乐经良教授、李世栋教授合编了《数学实验》,以案例教学为特色,效果很好。近四年来,我又尝试写通识教材《数学赏析》,希望在提高学生数学素养上作一些尝试。

教学既是学术,又是艺术;既要积累,又要创新。探索要有勇气,探索充满快乐,探索永无止境。在编写《数学赏析》的过程中,如何选材与行文,以吸引读者,特别是人文社科读者的兴趣?如何将数学与人文艺术交融?如何兼顾科学性与可读性?似无章可循。另一方面,因不受现有框架约束,便可旁征博引,信马由缰,带给我莫大的愉悦。书成之日,百感交集,得小诗一首,兼作为本文之结束:

挑灯四载求通识,朔古推今甘苦尝。

思绪层层丝结茧,悟怀点点墨成章。

上穷碧落星辰迹,下觅红尘优选方。

妙处难言须赏析,书终回首已枯肠。

学者小传

向隆万教授,上海交通大学数学系教授。先后在西安交通大学数学系和上海交通大学数学系任教。先后任教研室主任、系副主任、校教务处长、校工会副主席、国际交流学院院长、教育部工科数学课程指导委员会副主任、上海市大学生数学建模竞赛组委会副主任等职。现任教学委员会委员、教学督导组组长,兼任上海市欧美同学会·上海市留学人员联合会常务副会长。1980年至1982年作为访问学者在美国哥伦比亚大学及麻省理工学院进修应用数学。

向隆万教授的学术研究方向为偏微分方程的计算及其应用。开设十余门本科生及研究生数学课程;指导研究生数十名。主编或合编出版《高等数学》、《数学实验》、《体验海外教育》等教材或专著,发表各类论文70余篇。曾获上海市优秀教学成果二等奖、政府特殊津贴、全国语言文字先进工作者等荣誉。

2005年起搜集有关东京审判和中国检察组的资料,先后在《解放日报》、《文汇报》等媒体发表文章10余篇,在上海交大、清华大学、西安交大等院校,以及华东师大二附中、交大附中等中学,以及国内外学术机构或华人团体作专题报告20余次。2010年3月主编《东京审判·中国检察官向哲浚》出版;2011年5月,上海交大东京审判研究中心成立,任中心名誉主任,出版《东京审判文集》。

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